一元一次方程求解题解

题目分析

本题要求解一个合法的一元一次方程，方程中只包含整数、一个小写字母（未知数）以及 +、-、= 三个符号。我们需要将方程化简为 ax = b 的形式，然后求解 x = b/a。

解题思路

核心思想是一边读入一边处理，将方程化简为系数和常数的形式：

• 将所有含未知数的项移到等号左边，系数累加到 k
• 将所有常数项移到等号右边，常数累加到 b

最终方程变为：k * 未知数 = b，解为 x = b / k

算法流程

1. 状态变量设计

2. 处理逻辑

遍历每个字符时，根据字符类型分别处理：

（1）运算符 + 或 -

遇到运算符时，说明前一个数字/项已经结束，将之前累积的常数项加入到 b 中，然后重置 x = 0，更新符号 f。

（2）等号 =

遇到等号时，同样先将之前的常数项加入 b，然后重置状态，并将 now 设为 -1（表示移到右边）。

（3）字母（未知数）

• 如果之前有数字（r == true），说明系数是 x，将 now * f * x 累加到 k
• 如果之前没有数字（r == false），说明系数是 1，将 now * f 累加到 k
• 记录未知数名称 a

（4）数字

累积数字到 x 中，并标记 r = true。

3. 最后一项处理

循环结束后，最后一项可能还未被加入，需要额外处理：

cpp
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1b += now * f * x;  // 加上最后一项常数

4. 求解与输出

ans = -b / k   // 因为 b 是移项到右边的值，实际方程是 k*x + b = 0

注意特殊处理 -0.0 的情况，将其修正为 0.0。

代码实现

cpp
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1#include <iostream>
2#include <cstdio>
3using namespace std;
4
5char c, a;      // c用来读入，a是未知数名
6int f = 1, now = 1, k = 0, b = 0, x = 0;  // f符号，now左右侧，k系数，b常数，x当前数字
7bool r = false; // 是否读入过数字
8
9int main() {
10    while (cin >> c) {
11        if (c == '-') {
12            b += now * f * x;
13            x = 0;
14            f = -1;
15            r = false;
16        }
17        if (c == '+') {
18            b += now * f * x;
19            x = 0;
20            f = 1;
21            r = false;
22        }
23        if (c == '=') {
24            b += now * f * x;
25            x = 0;
26            f = 1;
27            now = -1;
28            r = false;
29        }
30        if (c >= 'a' && c <= 'z') {
31            if (r) {
32                k += now * f * x;
33                x = 0;
34            } else {
35                k += now * f;
36            }
37            a = c;
38            r = false;
39        }
40        if (c >= '0' && c <= '9') {
41            x = x * 10 + (c - '0');
42            r = true;
43        }
44    }
45    
46    // 处理最后一项
47    b += now * f * x;
48    
49    double ans = -1.0 * b / k;
50    if (ans == -0.0) ans = 0.0;  // 消除 -0.0
51    
52    printf("%c=%.3lf\n", a, ans);
53    return 0;
54}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 为方程字符串的长度，只需一次遍历。
• 空间复杂度：O(1)，只使用了常数个变量。

示例验证

输入：6a-5+1=2-2a

处理过程：

1. 左侧：6a 的系数为 +6，常数 -5+1 = -4
2. 右侧：-2a 移到左边变为 +2a，常数 2 移到左边变为 -2
3. 最终：8a = 6，a = 0.75

输出：a=0.750

注意事项

1. 系数的默认值：当未知数前没有数字（如 a 或 -a）时，系数应为 1 或 -1，通过 r 标志来判断。
2. 符号处理：f 记录当前符号，now 记录等号左右侧，两者相乘决定最终符号。
3. 移项处理：等号右侧的项移到左侧时需要变号，通过 now = -1 实现。
4. 浮点精度：输出保留三位小数，注意 -0.000 的特殊情况。

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