等差矩阵 题解

题目分析

题目要求构造一个 (n) 行 (m) 列的矩阵，并且满足：

• 矩阵的每一行都是一个等差数列；
• 矩阵的每一列都是一个等差数列。

通过观察题目给出的提示：在第 (i) 行第 (j) 列填入 (i \times j)。我们可以验证：

• 对第 (i) 行，元素依次为 (i\times 1, i\times 2, \dots, i\times m)，公差为 (i)，是等差数列；
• 对第 (j) 列，元素依次为 (1\times j, 2\times j, \dots, n\times j)，公差为 (j)，也是等差数列。

因此，直接按照 (a_{i,j} = i \times j) 构造即可满足要求。题目要求输出整个矩阵，元素之间用空格隔开。

解题思路

根据上述分析，本题是一个简单的模拟题。我们只需要嵌套两层循环：

1. 外层循环 (i) 从 (1) 到 (n)，表示行；
2. 内层循环 (j) 从 (1) 到 (m)，表示列；
3. 输出 (i \times j)，并在每行的数字之间输出空格，行末输出换行。

注意输出格式：同一行的整数之间用空格分割，不能有多余的空格；每输出完一行要进行换行。

算法说明

算法步骤：

1. 读入两个正整数 (n) 和 (m)。
2. 对于 (i = 1 \dots n)：
   • 对于 (j = 1 \dots m)：
     • 输出 (i \times j)；
     • 若 (j < m)，输出一个空格；否则输出换行符。
3. 程序结束。

时间复杂度分析

• 我们需要遍历整个矩阵，总元素个数为 (n \times m)，每个元素计算并输出，时间复杂度为 (O(n \times m))。
• 根据题目数据范围推测 (n, m) 不会太大（参考代码中暗示在 (1) 到 (50) 之间），(O(n \times m)) 完全可以在一秒内完成。
• 空间复杂度：除了少量循环变量外，没有额外存储，空间复杂度 (O(1))。

参考代码

下面给出完整的 C++ 参考代码，并附有详细注释。

cpp
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1#include <bits/stdc++.h>
2using namespace std;
3
4int n, m;
5
6int main() {
7    // 读入行数和列数
8    scanf("%d%d", &n, &m);
9
10    // 按照 i * j 构造矩阵
11    for (int i = 1; i <= n; i++) {         // 遍历每一行
12        for (int j = 1; j <= m; j++) {     // 遍历每一列
13            // 输出 i * j，并根据 j 是否为最后一列来决定输出空格还是换行
14            // " \n" 是一个长度为2的字符串，" \n"[0] = ' '，" \n"[1] = '\n'
15            printf("%d%c", i * j, " \n"[j == m]);
16        }
17    }
18
19    return 0;
20}

代码关键点解释

1. 输入输出方式
   使用 scanf 和 printf 进行输入输出，效率较高，适合 OI 比赛使用。
   也可以用 cin / cout，但建议在包含大量输出时关闭同步流以提高速度。

2. 控制行末格式
   " \n"[j == m] 是一个巧妙写法：

   • 当 j == m 时，条件为真，值为 1，取字符串下标 1，即 '\n'，实现换行。
   • 当 j != m 时，条件为假，值为 0，取下标 0，即 ' '，输出空格。
     这样就保证了每行数字之间有一个空格，而行尾没有多余空格，直接换行。

3. 数据范围
   题目未明确给出 (n, m) 的上限，但从注释中可以看出可能不超过 (50)。即使范围较大（如几百），(O(nm)) 的算法也非常高效。

总结

本题考察了等差数列的基本概念和简单的循环输出。只要意识到 (a_{i,j} = i \times j) 的性质，就能轻松解决。对于初学者来说，这是练习嵌套循环和格式控制的绝佳题目。