小杨的 N 字矩阵 题解

题目分析

题目要求我们输出一个 $m \times m$ 的字符矩阵（$m$ 为奇数），其中：

• 第 $1$ 列（每一行的第一个字符）都是 +；
• 第 $m$ 列（每一行的最后一个字符）都是 +；
• 矩阵的主对角线（从左上角到右下角，即第 $i$ 行第 $i$ 列）也是 +；
• 其余位置全部用 - 填充。

输入只有一个奇数 $m$，我们需要按要求输出这个 $m \times m$ 的矩阵。

解题思路

整个问题可以归纳为：对于矩阵中的每一个位置 $(i, j)$，判断它是否满足三个条件之一：

1. $j = 1$ （第一列）
2. $j = m$ （第 $m$ 列）
3. $i = j$ （主对角线）

如果满足以上任意一个条件，就输出字符 +，否则输出 -。

因为矩阵的行和列都是从 1 开始的，我们可以使用两重循环：外层循环控制行号 $i$（从 1 到 $m$），内层循环控制列号 $j$（从 1 到 $m$）。在循环内部进行条件判断并输出相应字符，每一行输出完毕后需要换行。

算法说明

1. 读入整数 $m$。
2. 使用 for 循环，行号 $i$ 从 $1$ 遍历到 $m$：
   • 内层 for 循环，列号 $j$ 从 $1$ 遍历到 $m$：
     • 如果 j == 1 或 j == m 或 i == j，输出 +；
     • 否则输出 -。
   • 内层循环结束时，输出一个换行符 \n。

这种方法直接对应于题目的描述，逻辑简单清晰，不易出错。

时间复杂度分析

该算法使用了两层嵌套循环，行和列各循环 $m$ 次，因此总共需要判断 $m \times m$ 个位置。时间复杂度为 $O(m^2)$。

根据数据范围，$3 \leq m \leq 49$，$m$ 最大为 49，计算量最大不超过 $49 \times 49 = 2401$ 次，远小于时间限制 1000ms 能承受的范围，完全满足题目要求。空间复杂度方面，我们只使用了几个循环变量，没有开辟大数组，空间复杂度为 $O(1)$。

参考代码与解释

以下是 C++ 参考代码，并附有详细注释。

cpp
复制
1#include<bits/stdc++.h>
2using namespace std;
3
4int main() {
5    int n;           // 矩阵的大小，即 m
6    cin >> n;        // 读入 m
7
8    // 外层循环：遍历每一行，行号 i 从 1 到 n
9    for (int i = 1; i <= n; i++) {
10        // 内层循环：遍历该行的每一列，列号 j 从 1 到 n
11        for (int j = 1; j <= n; j++) {
12            // 判断当前位置是否需要输出 '+'
13            if (j == 1 || j == n)       // 第一列 或 最后一列
14                cout << "+";
15            else {
16                if (i == j)             // 主对角线
17                    cout << "+";
18                else                    // 其余位置
19                    cout << "-";
20            }
21        }
22        cout << "\n";                   // 每一行输出结束后换行
23    }
24    return 0;
25}

代码解释：

• j == 1 || j == n：判断当前列是否为第一列或最后一列，这两种情况都需要打印 +。
• 如果不满足上述条件，再判断 i == j，即是否为对角线上的元素，若是则打印 +，否则打印 -。
• 每一行内所有字符连续输出，因此没有多余的空格；行尾使用 \n 进行换行，保证矩阵的格式正确。

这样写出的代码正好能够得到题目示例中 5 x 5 的 N 字矩阵。

总结

本题考察的是对循环和条件判断的基本应用，只要能够正确识别矩阵中需要输出 + 的位置，就能很容易地解决问题。因为数据量很小，简单的模拟即可通过。希望通过此题，你能更熟练地掌握二维输出的写法。