数位之和 题解

题目分析

小杨认为一个正整数是“美丽数字”，当且仅当这个数的每一位数字相加的总和是 7 的倍数。
现在给出 $n$ 个正整数，我们需要对每一个数判断它是否为美丽数字。

核心任务：

• 对每个正整数 $a_i$，求出它的各位数字之和；
• 判断该和是否能被 $7$ 整除。

解题思路

分解数位 + 累加求和 是本题最直接的思路。
对于一个整数 $x$，我们可以不断做以下操作，直到 $x$ 变为 $0$：

1. 取出 $x$ 的个位数字：x % 10；
2. 将该数字加入总和；
3. 去掉个位数字：x = x / 10（整数除法向下取整）。

计算完总和 tot 后，只需检查 tot % 7 == 0：

• 若成立，输出 Yes；
• 否则输出 No。

由于每个数字要单独处理，我们需要用循环结构依次读入 $n$ 个整数，对每个整数执行上述步骤并输出结果。

算法说明

以参考代码为例进行解释：

cpp
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1#include<bits/stdc++.h>
2using namespace std;
3
4int main() {
5    int n;
6    cin >> n;                // 读入正整数个数
7    for (int i = 1; i <= n; i++) {
8        int x;
9        cin >> x;            // 读入当前要判断的数
10        int tot = 0;         // 用于累加数位之和
11        while (x) {          // 当 x 不为 0 时循环
12            tot += (x % 10); // 取出个位，累加到 tot
13            x /= 10;         // 去掉个位
14        }
15        if (tot % 7 == 0)    // 判断总和是否为 7 的倍数
16            cout << "Yes\n";
17        else
18            cout << "No\n";
19    }
20    return 0;
21}

关键点说明：

• while (x) 循环可以正确处理 $x$ 的每一位，包括 $x=0$ 的情况吗？根据数据范围 $a_i \ge 1$，所以不需要处理 $0$。
• tot % 7 == 0 利用取模运算直接判断是否是 $7$ 的倍数。

时间复杂度分析

对于每一个正整数 $a_i$，其数位分解的循环次数等于该数的位数。
数据范围中 $a_i \le 10^5$，最大为 100000，位数最多为 6 位。
因此，单次处理一个数的时间复杂度是 $O(1)$（常数级别）。
一共 $n$ 个数，总时间复杂度为 $O(n)$，在 $n \le 10^5$ 时可以在题目要求的 1000ms 内轻松通过。

空间复杂度：只用了少量变量，为 $O(1)$。

总结

本题是一道简单的模拟题，考察循环、取模、整数除法等基础操作。只要熟练掌握“取出一个整数各位数字”的方法，就能快速求解。注意输出的大小写要与题目要求一致（首字母大写，其余小写）。