菱形 题解

题目分析

我们需要绘制一个 $n \times n$ 的字符菱形，其中 $n$ 为大于 $1$ 的奇数。菱形的四个顶点分别位于四条边的正中间：

• 第 $1$ 行的正中间（第 $\frac{n+1}{2}$ 列）
• 第 $1$ 列的正中间（第 $\frac{n+1}{2}$ 行）
• 第 $n$ 行的正中间（第 $\frac{n+1}{2}$ 列）
• 第 $n$ 列的正中间（第 $\frac{n+1}{2}$ 行）

相邻顶点之间用 # 连接，形成菱形的四条边。其余位置用 . 填充。

以 $n=5$ 为例，菱形图案如下：

..#..
.#.#.
#...#
.#.#.
..#..

可以观察到，所有 # 恰好位于以正方形中心为原点、曼哈顿距离为 $k = \lfloor n/2 \rfloor$ 的位置上。

解题思路

在 $n \times n$ 的网格中，定义中心点的坐标为 $(c, c)$，其中 $c = \frac{n+1}{2}$（行列编号从 $1$ 开始）。
对于网格中的任意位置 $(i, j)$，它到中心点的曼哈顿距离为：

当 $d = k$（其中 $k = \frac{n-1}{2} = \lfloor n/2 \rfloor$）时，该位置正好落在菱形的边上，应输出 #；否则输出 .。

完整遍历所有行 $i$ 和列 $j$，依次判断并输出即可。

算法说明

1. 读入奇数 $n$。
2. 计算半径 $k = n / 2$（C++ 整数除法自动向下取整）。
3. 使用双重循环，外层循环 $i$ 从 $1$ 到 $n$，内层循环 $j$ 从 $1$ 到 $n$：
   • 计算 $\text{abs}(k - i + 1) + \text{abs}(k - j + 1)$。
     这里等价于 $|i - (k+1)| + |j - (k+1)|$，因为中心行/列为 $k+1$。
   • 若结果等于 $k$，输出 #；否则输出 .。
4. 每行输出结束后换行。

参考代码

下面是基于上述思路的 C++ 实现，代码已包含详细注释。

cpp
复制
1#include <iostream>
2#include <cstdlib>  // 提供 abs 函数
3using namespace std;
4
5int main() {
6    int n;
7    cin >> n;
8    int k = n / 2;           // 菱形半径
9    // 外层循环：行
10    for (int i = 1; i <= n; i++) {
11        // 内层循环：列
12        for (int j = 1; j <= n; j++) {
13            // 计算当前点 (i, j) 到中心 (k+1, k+1) 的曼哈顿距离
14            // 中心坐标为 k+1 是因为行列编号从 1 开始，而 k = (n-1)/2
15            if (abs(k - i + 1) + abs(k - j + 1) == k)
16                cout << '#';
17            else
18                cout << '.';
19        }
20        cout << endl;        // 换行
21    }
22    return 0;
23}

代码解释

• k = n / 2：由于 $n$ 是奇数，n/2 正好等于 $(n-1)/2$，即菱形的半边长（从中心到顶点的曼哈顿距离）。
• abs(k - i + 1) + abs(k - j + 1)：计算 $(i, j)$ 到中心点 $(k+1, k+1)$ 的曼哈顿距离。当距离恰好等于 $k$ 时，说明该位置在菱形的边上。
• 使用 cout 逐个输出字符，最终形成菱形图案。

时间复杂度分析

算法使用了两层循环遍历 $n \times n$ 个格子，每个格子进行常数次运算，因此时间复杂度为 $O(n^2)$。

题目中 $n$ 最大仅为 $29$，$O(n^2)$ 的复杂度完全可以在 1 秒内轻松运行完毕。

总结

本题本质上是根据曼哈顿距离绘制菱形边框。将几何图形的对称性转化为数学表达式，是解决此类字符画问题的重要方法。理解“曼哈顿距离等于定值”对应菱形这一结论后，即可轻松写出简短且高效的代码。