优美的数字 题解

题目分析

题目要求统计不超过 $n$ 的正整数中，所有十进制数位完全相同的数字个数。这类数字被称为“优美数字”，例如 $1, 6, 99, 222$ 等。
输入范围限制为 $1 \le n \le 2025$，数据规模很小，可以用直观的方法直接求解。

解题思路

由于 $n$ 最大只有 $2025$，我们完全可以遍历 $1$ 到 $n$ 的每一个整数，判断它的每一个十进制数位是否都等于个位数字。如果是，则该数是优美数字，答案加一；否则不是。
判断一个数的所有数位是否相同的方法很多，例如：

• 取出个位数字保存下来；
• 不断降位（除以 $10$），如果某一位上的数字与个位不同，则判定该数不是优美数字；
• 如果所有位检查完毕都相同，则该数为优美数字。

算法说明

1. 读入正整数 $n$。
2. 初始化计数器 ans = 0。
3. 对于 i 从 $1$ 到 $n$：
   • 记 v = i % 10 为个位数字；
   • 用临时变量 t = i / 10 从十位开始逐位检查；
   • 如果 t 不为 $0$ 且当前末位 t % 10 不等于 v，则该数不符合条件，标记后跳出循环；
   • 否则将 t 除以 $10$ 继续向高位检查；
   • 若所有数位均与 v 相等，则 ans 增加 $1$。
4. 输出 ans。

这个方法直接对应题目的定义，实现简单，便于理解。

时间复杂度分析

• 外层循环运行 $n$ 次，即最多 $2025$ 次迭代。
• 每次迭代需要检查当前数字的每一位，最大位数为 $4$（$2025$ 是 $4$ 位数），所以内部 while 循环最多执行 $4$ 次。
• 整体时间复杂度为 $O(n \cdot d)$，其中 $d$ 是最大位数。当 $n \le 2025$ 时，运算量极小，完全可以满足时间限制。
• 空间复杂度为 $O(1)$，只使用了少量变量。

参考代码

cpp
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1#include <cstdio>
2using namespace std;
3
4int n, ans;
5
6int main() {
7    scanf("%d", &n);
8    for (int i = 1; i <= n; i++) {
9        int v = i % 10;          // 个位数字
10        int t = i / 10;          // 剩余高位
11        int chk = 1;             // 标记，1 表示是优美数字
12        while (t) {
13            if (t % 10 != v) {   // 某一位与个位不同
14                chk = 0;
15                break;
16            }
17            t /= 10;
18        }
19        ans += chk;
20    }
21    printf("%d\n", ans);
22    return 0;
23}

代码解释

• v = i % 10 获取当前数字的个位，作为全数字的参照值。
• t = i / 10 用来遍历剩下的更高数位。
• 在 while(t) 循环中，如果 t % 10 不等于 v，说明该数位与个位不同，将 chk 置为 $0$ 并提前退出循环；否则继续向高位移动 (t /= 10)。
• 循环结束后，若 chk 仍为 $1$，则说明所有数位一致，ans 加上 $1$。
• 最后输出 ans，即不超过 $n$ 的优美数字的总数。