金字塔 题解

题目分析

题目要求搭建一座金字塔，需要从塔顶到塔底（或从塔底向上）依次摆放石块：第 (1) 层（最小）需要 (1 \times 1) 块，第 (2) 层需要 (2 \times 2) 块，……，第 (n) 层需要 (n \times n) 块。求总共需要的石块数量。

本质上，本题就是计算平方和： [ S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 ]

数据范围 (n \le 50)，非常小，直接模拟求和即可通过，也可以利用数学公式快速求解。

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解题思路

思路一：循环累加（模拟）

使用一个循环，从 (1) 到 (n)，每次将 (i^2) 加到一个累加器变量中，最后输出累加器即可。

• 时间复杂度：(O(n))，在 (n \le 50) 时几乎瞬间完成。
• 优点：直观简单，不易出错。

思路二：数学公式

平方和公式为： [ 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ] 直接代入 (n) 计算即可。

• 时间复杂度：(O(1))。
• 注意：公式中分子可能较大，但 (n \le 50) 时结果不超过 (50 \times 51 \times 101 / 6 = 42925)，远小于 int 范围，可直接用整数计算。

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算法说明

我们以参考代码中的循环累加法为例进行说明。

1. 读入整数 (n)。
2. 初始化答案变量 ans = 0。
3. 对于 i 从 1 到 n 循环：
   • 将 i * i 加到 ans 上。
4. 输出 ans。

由于 (n) 很小，无需考虑溢出或性能问题。

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时间复杂度分析

• 循环法：循环 (n) 次，每次进行常数次乘法和加法，时间复杂度 (O(n))，空间复杂度 (O(1))。
• 公式法：仅需常数次乘除运算，时间复杂度 (O(1))，空间复杂度 (O(1))。

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参考代码及解释

以下是题目提供的 C++ 参考代码：

cpp
复制
1#include <algorithm>
2#include <cstdio>
3using namespace std;
4int n, ans;
5int main() {
6    scanf("%d", &n);
7    for (int i = 1; i <= n; i++) ans += i * i;
8    printf("%d\n", ans);
9    return 0;
10}

代码解释：

• #include <cstdio> 引入 scanf 和 printf 用于输入输出，<algorithm> 虽然引入但本代码未使用。
• using namespace std; 使标准库中的名字可直接使用。
• int n, ans; 定义全局变量（自动初始化为 0）。
• scanf("%d", &n); 读取金字塔层数。
• for (int i = 1; i <= n; i++) ans += i * i; 循环累加平方值。
• printf("%d\n", ans); 输出结果。

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拓展：使用公式法的代码

若使用公式，代码可以写成：

cpp
复制
1#include <cstdio>
2int main() {
3    int n;
4    scanf("%d", &n);
5    int ans = n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6;
6    printf("%d\n", ans);
7    return 0;
8}

同样能正确求出所需石块总数。

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总结

本题是平方和的基础练习题，适合初学者熟悉循环累加或应用简单数学公式。理解题意后，将问题转化为求和即可轻松解决。