图书馆里的老鼠 题解

题目分析

图书馆里有 (n) 本书，混入了一只老鼠。老鼠每 (x) 小时可以啃光一本书，并且在啃光一本书之前不会去啃另一本。也就是说，老鼠会一本一本地按顺序啃书。经过 (Y) 小时后，问图书馆里还剩下多少本完整的书。

输入保证 (Y) 小时后至少会剩下一本完整的书。数据范围 (1 \leq n, x, y \leq 1000)，非常小，但我们可以用数学方法直接 (O(1)) 计算出结果。

解题思路

关键在于理解“完整书”和“被啃过的书”的区别：

• 如果一本书已经被老鼠彻底啃光，那它自然不是完整的。
• 如果一本书老鼠正在啃，但还没有啃完，这本书也已经存在损坏，同样不应该算作完整的书。

因此，(Y) 小时后，图书馆里不完整的书可以分为两部分：

1. 已经啃完的书：数量为 (\lfloor Y / x \rfloor)。
2. 正在啃的书：如果 (Y) 是 (x) 的整数倍（即 (Y \bmod x = 0)），说明最后一本书恰好被啃完，没有正在啃的书；否则，就有一本书正在被啃。

用公式表示：
[
\text{被啃过的书} = \lfloor Y / x \rfloor + \begin{cases} 1, & Y \bmod x \neq 0 \ 0, & Y \bmod x = 0 \end{cases}
]

由于老鼠不会同时啃多本书，这个计算方式是准确的。

最后，完整的书数量 = 总数 (n) − 被啃过的书数量。

算法说明

1. 读入三个正整数 (n, x, y)。
2. 计算已啃完的书数：finished = y / x（整数除法自动向下取整）。
3. 判断是否有正在啃的书：如果 y % x > 0，则 current = 1，否则 current = 0。
4. 被啃过的书总数 damaged = finished + current。
5. 剩余完整书 remaining = n - damaged。
6. 输出 remaining。

示例演示（与参考代码逻辑一致）：

• 输入：n = 10, x = 3, y = 7
• finished = 7 / 3 = 2（第1_{3小时啃完第1本，第4}6小时啃完第2本）
• current = (7 % 3 > 0) -> 1（第7小时正在啃第3本）
• damaged = 2 + 1 = 3
• remaining = 10 - 3 = 7
• 输出 7

时间复杂度分析

算法只进行常数次的算术运算和逻辑判断，不涉及循环或递归，因此时间复杂度为 (O(1))，空间复杂度也为 (O(1))。对于 (n, x, y \leq 1000) 的数据完全可以瞬间完成。

参考代码及解释

cpp
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1#include <bits/stdc++.h>
2using namespace std;
3
4int main() {
5    int n, x, y;
6    cin >> n >> x >> y;
7    
8    // 老鼠在y小时内已经啃完的书的数量
9    int finished_books = y / x;
10    // 老鼠正在啃的书（如果有的话）
11    int current_book = (y % x > 0) ? 1 : 0;
12    
13    // 被啃过的书 = 已啃完的 + 正在啃的
14    int damaged_books = finished_books + current_book;
15    
16    // 剩余完整书 = 总数 - 被啃过的
17    int remaining = n - damaged_books;
18    
19    cout << remaining << endl;
20    
21    return 0;
22}

代码说明：

• y / x：C++ 中整数除法会舍去小数部分，正好得到“完全啃完”的本数。
• y % x > 0：如果余数大于 0，说明这 y 小时内除了啃完 y/x 本外，还有一段时间正在啃下一本。
• 三目运算符 ? 1 : 0 用于决定是否把当前正在啃的书计入不完整书籍。
• 最后用总数减去不完整的数量，得到剩余完整书的数量，并直接输出。

注意事项：

• 题目保证 y 小时后至少有一本完整的书，因此 remaining >= 1，不需要额外的边界处理。
• 变量名清晰，有助于理解每一步的含义。

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这道题考察了简单的整除和取模运算，以及将实际问题转化为数学公式的能力。只要弄清楚老鼠啃书的顺序，就能轻松解决。